第6章频率响应与带宽

第6章频率响应与带宽

上一章讨论的差分放大器增益、共模抑制比、失调电压，都默认信号不随时间变化。但真实信号从来不是静止的。Wi-Fi 信号是 2.4GHz 的正弦波，音频放大器要处理 20Hz 到 20kHz 的语音，传感器输出可能只有几毫伏却带着几百 kHz 的载波。频率升高之后，放大器还像直流时那样工作吗？

答案是否定的。每个晶体管都有寄生电容，每根导线都有电感。寄生电容在高频下形成额外的信号通路，改变放大器的增益和相位。本章回答三个问题：放大器如何随频率变化？为什么会有带宽限制？怎样把带宽做宽？

6.1 频率响应基础

6.1.1 从传递函数说起

第 4 章讨论的增益 \(A_v\) 严格来说只在直流（\(f=0\)）时成立。更一般地，增益是频率的函数，用复频域变量 \(s\) 表示：

\[ A(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} \]

把 \(s = j\omega\) 代入，就得到频率响应 \(A(j\omega)\)。它是个复数，包含幅值 \(|A(j\omega)|\) 和相位 \(\angle A(j\omega)\) 两部分。幅值告诉你信号被放大或衰减了多少倍，相位告诉你输出比输入滞后或超前了多少度。

先看一个最简单的例子：单极点 RC 低通滤波器。

图1：单极点 RC 低通滤波器电路和 SPICE 零点/极点分析结果

它的传递函数是：

\[ A(s) = \frac{1}{1 + sRC} \]

令 \(s = j\omega\)，幅值为：

\[ |A(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \]

相位为：

\[ \angle A(j\omega) = -\arctan(\omega RC) \]

当 \(\omega = 1/(RC)\) 时，幅值降到直流的 \(1/\sqrt{2} \approx 0.707\)，即 -3dB；相位为 -45°。这个频率叫转折频率（或 -3dB 带宽、极点频率），记作 \(\omega_p = 1/(RC)\)。

图2：单极点 RC 低通滤波器幅频和相频特性图

幅频曲线在转折频率之后以每十倍频程 -20dB 的斜率下降。相位从 0° 开始，在转折频率处为 -45°，最终趋向 -90°。这就是一个极点对频率响应的全部影响。

6.1.2 极点和零点

极点（pole）是使传递函数分母为零的 \(s\) 值，零点（zero）是使分子为零的 \(s\) 值。它们决定了放大器的全部频率行为。

一个位于 \(\omega_p\) 的极点使幅值在 \(\omega_p\) 以上以 -20dB/十倍频程下降，相位从 \(\omega_p/10\) 处开始偏移，在 \(\omega_p\) 处偏移 -45°，到 \(10\omega_p\) 处接近 -90°。一个位于 \(\omega_z\) 的零点则相反：幅值以 +20dB/十倍频程上升，相位在 \(\omega_z\) 处偏移 +45°，最终趋向 +90°。

图3：波特图上出现单个极点和零点

RC 高通滤波器是单零点电路的典型例子。它的传递函数为：

\[ A(s) = \frac{sRC}{1 + sRC} \]

直流时增益为零（电容隔直），高频时增益趋向 1。零点在 \(s=0\)，极点在 \(s = -1/(RC)\)。

图4：单零点 RC 高通滤波器电路和 SPICE 零点/极点分析结果

6.1.3 波特图

波特图把幅值和相位分别画成对数坐标下的两条曲线。横轴是频率（对数刻度），纵轴分别是增益（dB）和相位（度）。

画波特图的实用方法是渐近线近似：每个极点贡献一条 -20dB/十倍频程的斜线，每个零点贡献一条 +20dB/十倍频程的斜线，把所有斜线叠加起来就是幅频特性的近似。相位曲线类似，每个极点贡献 -90° 的总相移，每个零点贡献 +90°。

图5：放大器幅频和相频特性

这套工具的价值在于：不用解复杂的方程，只要知道极点和零点的位置，就能画出整个频率响应的草图。反过来，看到一条实测的幅频曲线，也能反推电路里有几个极点、几个零点、各在什么频率。

6.1.4 稳定性与相位裕量

极点和零点不只是画图用的。在反馈系统中，它们直接决定电路是否稳定。

回顾第 5 章的差分对，如果接成负反馈放大器，环路增益 \(A\beta\) 的相位在某个频率达到 -180°，同时幅值还大于等于 1，电路就会振荡。衡量稳定性的指标是相位裕量（Phase Margin, PM）：在环路增益幅值降到 1（0dB）的频率处，相位距离 -180° 还有多少余量。

工程上 PM ≥ 60° 是常见的设计目标。PM 太小，阶跃响应会出现明显的振铃；PM 接近 0°，电路就振荡了。控制理论里有个概念叫主导极点——距离虚轴最近、附近又没有零点的极点，它决定系统响应的主要特征。如果某个极点比其他极点远 5 倍以上，后者的影响可以忽略。这个概念在运放补偿中非常有用。

6.2 单级放大器频率响应

6.2.1 共源放大器的寄生电容

现在看一个实际的放大器。共源级（CS）是模拟设计的基本单元，它的高频行为由三个寄生电容决定：\(C_{gs}\)（栅-源）、\(C_{gd}\)（栅-漏）、\(C_{db}\)（漏-体）。

图6：放大器电路原理图

画出小信号等效电路，\(C_{gd}\) 跨接在输入和输出之间，形成米勒效应。它的等效输入电容被放大了 \(1 + A_v\) 倍：

\[ C_{in} = C_{gs} + C_{gd}(1 + A_v) \]

这就是米勒定理。一个几飞法的 \(C_{gd}\)，在增益为 20dB 的放大器里，等效输入电容变成几十飞法，直接拉低输入极点频率。

共源放大器的传递函数可以写成：

\[ A(s) = \frac{A_0}{(1 + s/\omega_{p1})(1 + s/\omega_{p2})} \]

其中主极点 \(\omega_{p1}\) 由输出节点的总电容决定：

\[ \omega_{p1} = \frac{1}{R_{out}(C_{db} + C_{gd} + C_L)} \]

\(R_{out}\) 是输出电阻（\(r_{ds}\) 与负载电阻并联），\(C_L\) 是负载电容。次级点 \(\omega_{p2}\) 由输入节点决定，通常远高于 \(\omega_{p1}\)。

图7：第1级幅频特性

6.2.2 增益-带宽积的权衡

共源放大器的直流增益是 \(g_m R_{out}\)，主极点频率是 \(1/(R_{out} C_{out})\)。两者相乘：

\[ GBW = A_0 \cdot \omega_{p1} = \frac{g_m}{C_{out}} \]

增益-带宽积只取决于跨导和输出电容，跟 \(R_{out}\) 无关。想提高增益，加大 \(R_{out}\)，带宽就按比例下降；想提高带宽，减小 \(R_{out}\)，增益就没了。这是模拟设计的根本矛盾之一。

图8：第2级幅频特性

实际中还会遇到一个麻烦：\(C_{gd}\) 的米勒效应不仅降低输入极点，还在传递函数中引入一个右半平面零点：

\[ \omega_z = \frac{g_m}{C_{gd}} \]

右半平面零点对幅频曲线没有影响（它只是让幅值以 +20dB/十倍频程上升），但对相位曲线是雪上加霜——它贡献的是 -90° 相移而不是 +90°。这会减小相位裕量，让稳定性变差。

6.2.3 共栅和源跟随器的高频特性

共栅级（CG）没有米勒效应，因为 \(C_{gd}\) 接在输入和地之间，不跨接输入输出。它的输入阻抗低（约 \(1/g_m\)），带宽可以做得较高，适合做电流缓冲器。

源跟随器（SF）的 \(C_{gd}\) 也在输入和地之间，同样没有米勒倍增。它的输出阻抗低（约 \(1/g_m\)），适合驱动大电容负载。但源跟随器的 \(C_{gs}\) 跨接在输入和输出之间，在高频下形成一条前馈路径，可能在输出端引入零点。

三种单级放大器的频率特性对比：

结构	主极点来源	米勒效应	典型带宽	典型应用
共源	输出节点	严重	中等	增益级
共栅	输入节点	无	较高	电流缓冲
源跟随器	输出节点	轻微	较高	电平移位、驱动

6.3 带宽扩展技术

6.3.1 级联：用增益换带宽

单级放大器的 GBW 固定。想要同时获得高增益和大带宽，一个办法是级联。

把 \(N\) 个增益为 \(A_0\)、带宽为 \(\omega_0\) 的放大器串联，总增益是 \(A_0^N\)，总带宽大约为：

\[ \omega_{3dB} \approx \omega_0 \sqrt{2^{1/N} - 1} \]

\(N=2\) 时，带宽是单级的 \(\sqrt{\sqrt{2}-1} \approx 0.64\) 倍；\(N=3\) 时降到 0.51 倍。级联的代价是带宽收缩，但总 GBW 仍然增加了——增益是乘方关系，带宽只按平方根收缩。

这就是为什么运放通常做成两级或三级：第一级提供高增益，第二级提供大摆幅，第三级（有时省略）提供输出驱动能力。每一级不必追求极致带宽，整体性能反而更好。

6.3.2 电感峰化

在射频和高速电路中，有一种更激进的带宽扩展方法：在负载上串联一个电感。

电感在低频时阻抗很小，不影响增益；在高频时阻抗增大，与电容形成谐振，在谐振频率附近产生一个增益峰，补偿电容导致的滚降。这叫电感峰化（inductive peaking）。

图9：频率响应图

设计要点是选择电感值使峰值恰好落在 -3dB 频率附近。过大的电感会导致过冲过大，时域响应出现振铃；过小的电感起不到补偿作用。理想情况下，电感峰化可以把带宽扩展约 1.7 倍（无过冲的临界阻尼条件）。

不过片上电感面积大、Q 值低，在 CMOS 工艺里成本很高。实际中更常用的是有源电感——用一个 MOS 管接成共栅或共源结构，利用其输出阻抗的感性行为来模拟电感。这种方法不需要额外面积，但线性度和噪声性能不如无源电感。

6.3.3 负反馈对带宽的影响

第 7 章会详细讨论反馈，这里先给出一个结论：负反馈可以扩展带宽。

一个开环增益为 \(A(s)\)、反馈系数为 \(\beta\) 的反馈系统，闭环增益为：

\[ A_{cl}(s) = \frac{A(s)}{1 + \beta A(s)} \]

如果 \(A(s)\) 是单极点的，\(A(s) = A_0/(1 + s/\omega_0)\)，代入得：

\[ A_{cl}(s) = \frac{A_0/(1 + \beta A_0)}{1 + s/[\omega_0(1 + \beta A_0)]} \]

闭环带宽变成了 \(\omega_0(1 + \beta A_0)\)，比开环带宽扩大了 \(1 + \beta A_0\) 倍。代价是闭环增益按同样的比例缩小。反馈用增益换带宽，而且这个交换是线性的——GBW 保持不变。

这跟级联的逻辑正好互补。级联用多级放大换取更高的总 GBW，反馈则是在单级内做增益-带宽的重新分配。实际设计中两者结合使用：先用级联获得足够的增益，再用反馈把带宽推上去，同时获得线性度和稳定性的改善。

6.3.4 有源负载与电流复用

还有一种不改变电路拓扑的带宽优化方法：提高 \(g_m\)。从 \(GBW = g_m/C_{out}\) 可以看出，跨导越大，GBW 越高。

提高 \(g_m\) 最直接的方法是增大偏置电流，但这会增加功耗。另一种思路是电流复用：让一个管子同时承担信号放大和偏置的功能。比如折叠共源共栅结构，输入管和负载管共用同一份电流，等效跨导翻倍而功耗不增。

在深亚微米工艺下，\(g_m/I_D\) 的比值随过驱动电压的减小而增大，所以把管子偏置在弱反型区可以获得更高的跨导效率。但弱反型区速度慢、匹配差，需要在带宽和精度之间权衡。

6.3.5 零点补偿

回到 6.2.2 节提到的右半平面零点。它减小相位裕量，但如果在电路中人为地引入一个左半平面零点，恰好抵消它的影响，问题就解决了。

一个实用的方法是在负载电阻上并联一个电容 \(C_F\)。这个电容在频率升高时短路电阻，产生一个零点：

\[ \omega_z = \frac{1}{R_{out}C_F} \]

如果 \(C_F\) 选得合适，这个零点可以抵消 \(g_m/C_{gd}\) 那个右半平面零点，或者至少把相位裕量拉回来。

图10：（3）把零点从右半平面移动到左半平面，并且使其大于单位增益带宽频率 \(\omega_u\)

素材里 LDO 那个例子也提到了类似思路：输出电容的 ESR 产生一个零点，如果位置合适，可以改善环路稳定性。ESR 太大或太小都不行，必须落在数据手册规定的范围内。寄生元件的位置决定其影响，设计者需要控制它们的位置来改善稳定性。

6.4 多级放大器的频率响应

6.4.1 极点的分布与叠加

多级放大器的传递函数是各级传递函数的乘积。如果每级都是单极点的，总的幅频曲线就是各条 -20dB/十倍频程斜线的叠加。

假设两级放大器，第一级主极点 \(f_{p1} = 1\)MHz，第二级主极点 \(f_{p2} = 10\)MHz。低频增益都是 20dB。总增益在 \(f_{p1}\) 处开始以 -20dB/十倍频程下降，到 \(f_{p2}\) 处斜率变成 -40dB/十倍频程。总的 -3dB 带宽大约在 0.64MHz——比第一级单独工作时的带宽还低。

图11：幅值和频率特性图

这就是多级放大的代价：每一级引入的极点都会压缩总带宽。设计时要么让各级极点尽量拉开距离（把次级点推到很高），要么用补偿技术把某个极点变成主极点，压制其他极点的影响。

6.4.2 主极点补偿

运放设计中常用的频率补偿方法，就是人为地增大某一级的输出电容，使该级的主极点远低于其他极点。这样整个放大器在高频下表现为单极点系统，相位裕量容易保证。

代价是单位增益带宽被压低。补偿电容 \(C_C\) 每增大一倍，主极点频率降一半，GBW 也降一半。所以补偿电容的选取是稳定性与带宽的折中——这也是为什么运放数据手册里会给出不同增益配置下的推荐补偿电容值。

6.4.3 实例：两级运放的频率响应

一个典型的两级运放（差分输入级 + 共源输出级），加上米勒补偿电容 \(C_C\)，其传递函数可以写成：

\[ A(s) = \frac{A_0(1 - s/\omega_z)}{(1 + s/\omega_{p1})(1 + s/\omega_{p2})} \]

其中：

\[ \omega_{p1} \approx \frac{1}{g_{m2} R_1 R_2 C_C} \]

\[ \omega_{p2} \approx \frac{g_{m2} C_C}{C_1 C_2 + C_C(C_1 + C_2)} \]

\[ \omega_z = \frac{g_{m2}}{C_C} \]

\(g_{m2}\) 是第二级跨导，\(R_1\)、\(R_2\) 是各级输出电阻，\(C_1\)、\(C_2\) 是各级输出电容。注意零点 \(\omega_z\) 在右半平面，它限制了可达到的相位裕量。

图12：该极点为套筒式运放的主极点，其中 \(g_{oj}\)

如果相位裕量不够，可以在补偿电容上串联一个电阻 \(R_Z\)，把右半平面零点移到左半平面，或者推到远高于 GBW 的位置。这个电阻叫零点抵消电阻，它的最佳值是 \(1/g_{m2}\)。

6.5 仿真验证

6.5.1 用 AC 仿真测带宽

Cadence ADE 的 AC 仿真可以直接给出放大器的频率响应。设置交流扫描范围从 1Hz 到 1GHz，扫描类型选对数，每十倍频程 10 个点。仿真完成后，在输出曲线上读出 -3dB 点对应的频率，就是放大器的带宽。

图13：完成运放 3dB 带宽计算的设置

如果用 Multisim 或 SPICE，操作类似：AC Sweep 对话框里设置起始频率、终止频率和扫描点数。素材里二极管频率特性分析的步骤可以照搬到放大器上——把信号源换成 AC 幅值为 1V 的正弦源，执行 AC Sweep，就能得到幅频和相频曲线。

图14：二极管交流小信号（频率特性）分析电路

6.5.2 零极点分析

ADE 的零极点分析（PZ Analysis）可以直接算出传递函数的极点和零点。这对验证手算结果非常有用——你算出主极点在 1.2MHz，仿真显示 1.15MHz，说明模型和手算基本吻合；如果差了一个数量级，那就要回头检查是不是漏掉了某个寄生电容。

图15：例 6-1 的闭环零极点分布图

6.5.3 瞬态响应验证稳定性

频率域的相位裕量最终要体现在时域响应上。给放大器输入端加一个阶跃信号，观察输出波形：如果相位裕量充足（≥60°），输出应该平滑地到达终值，只有轻微的过冲；如果相位裕量不足，输出会出现明显的振铃，振荡频率接近单位增益带宽。

图16：放大器瞬态特性仿真结果

在某次流片测试中，一个相位裕量 50° 的放大器在 -40°C 下出现振铃。原因是相位裕量是在特定条件下测的（典型工艺角、典型温度、标称负载），实际芯片要面对工艺偏差、温度变化、负载不确定。设计时留足裕量，瞬态仿真多跑几个 corner，是避免流片回来振荡的唯一办法。

6.6 本章小结

极点和零点决定了放大器的频率行为。一个极点贡献 -20dB/十倍频程的滚降和 -90° 的相移，一个零点贡献 +20dB/十倍频程的上升和 +90° 的相移。波特图是把这些贡献叠加起来的工具。

单级放大器的增益-带宽积基本固定。共源级的米勒效应会降低输入极点，右半平面零点会恶化相位裕量。想同时获得高增益和大带宽，必须用级联、反馈或电感峰化等技术。级联消耗功耗和面积，反馈降低增益，电感峰化引入过冲风险，零点补偿增加电路复杂度。每一项技术都有代价，设计者的工作就是根据具体约束选择合适的手段。

下一章讨论反馈理论。你会看到，频率响应中引入的极点和零点，在反馈系统中如何决定稳定性，以及如何用补偿网络把不稳定的系统拉回稳定区。