第4章反馈与稳定性

模拟集成电路的性能指标——增益、带宽、失真——几乎都随工艺角和温度变化。第3章讨论的多级放大器也不例外。一个开环增益设计为60 dB的运放，在不同工艺角下可能落到55 dB到65 dB之间。引入负反馈后，这种波动被大幅压缩，代价是环路增益的损失。本章先建立反馈分析的基本框架，再讨论稳定性判据，最后介绍几种常用的频率补偿技术。

4.1.1 反馈基本概念

4.1.2 反馈的四种连接方式

反馈按采样信号和比较信号的性质分为四种基本类型：电压-电压、电流-电压、电压-电流、电流-电流。命名规则是“采样的信号-返回的信号”。电压-电压反馈在输出端采样电压，在输入端以电压形式与输入信号相减；电流-电流反馈在输出端采样电流，在输入端以电流形式相减；其余两种为跨导和互阻反馈。

对集成电路设计而言，电压-电压反馈最为常见，因为运放本身是电压输入、电压输出的器件。但电流反馈在电流镜、带隙基准等电路中同样频繁出现。判断反馈类型的方法是看反馈网络与主放大器的连接方式：反馈网络并联在输出端采样电压，串联在输出端采样电流；反馈网络并联在输入端返回电流，串联在输入端返回电压。

4.1.3 负反馈对增益的影响

以电压-电压反馈为例。设开环增益为 \(A\)，反馈系数为 \(\beta\)，则闭环增益为

\[ A_f = \frac{A}{1 + A\beta} \]

其中 \(A\beta\) 称为环路增益。当 \(A\beta \gg 1\) 时，\(A_f \approx 1/\beta\)，闭环增益完全由反馈网络决定，与开环增益无关。负反馈的核心价值就在这里：用有源器件的增益换取增益的精确性和稳定性。

对 \(A_f\) 求关于 \(A\) 的偏导，得到灵敏度关系

\[ \frac{dA_f}{A_f} = \frac{1}{1 + A\beta} \cdot \frac{dA}{A} \]

灵敏度降低为开环时的 \(1/(1+A\beta)\) 倍。一个开环增益为60 dB的运放，若环路增益为40 dB，则闭环增益对开环增益变化的敏感度降低100倍。晶体管跨导因工艺角变化20%时，闭环增益只变化0.2%。

负反馈还扩展了带宽。设开环放大器是单极点系统，\(A(s) = A_0/(1 + s/\omega_p)\)，则闭环传递函数为

\[ A_f(s) = \frac{A_0/(1 + A_0\beta)}{1 + s/[\omega_p(1 + A_0\beta)]} \]

闭环带宽从 \(\omega_p\) 扩展到 \(\omega_p(1 + A_0\beta)\)，增益与带宽的乘积保持不变，即增益-带宽积恒定。这一结论对单极点系统严格成立，对多极点系统近似成立。

4.1.4 反馈对输入输出阻抗的影响

电压-电压反馈（串联-并联）使输入阻抗增大 \(1 + A\beta\) 倍，输出阻抗减小 \(1 + A\beta\) 倍。电流-电流反馈（并联-串联）则相反，输入阻抗减小、输出阻抗增大。其余两种类型的效果见表4-1。

表4-1 四种反馈类型对阻抗的影响

反馈类型	输入阻抗变化	输出阻抗变化
电压-电压（串联-并联）	增大	减小
电流-电流（并联-串联）	减小	增大
电压-电流（并联-并联）	减小	增大
电流-电压（串联-串联）	增大	减小

这些关系在缓冲器设计中直接使用。射极跟随器是电压-电压反馈的典型例子，其输出阻抗约为 \(1/g_m\)，远小于开环时的输出阻抗。

4.1.5 反馈对非线性的改善

负反馈将非线性失真降低 \(1 + A\beta\) 倍。设开环放大器的传递函数为 \(v_o = a_1 v_i + a_2 v_i^2 + a_3 v_i^3\)，引入反馈后，输出中的二次谐波分量近似为

\[ HD_2' \approx \frac{HD_2}{1 + A\beta} \]

三次谐波也有类似关系。代价是反馈环路中每个极点都会引入附加相移，当环路增益在某个频率处降至0 dB时，若总相移已达到180°，负反馈就变成正反馈，系统发生振荡。下一节将讨论稳定性问题。

图1：放大器幅频和相频特性

图4-1给出了一个典型放大器的幅频和相频特性。低频段增益平坦，高频段以 -20 dB/dec 的斜率下降，相频特性从0°逐渐趋向 -90°。单极点系统的相移不会超过90°，因此闭环后总是稳定的。实际放大器至少有两个极点，相移可以超过180°，稳定性问题随之而来。

4.1.6 稳定性判据

4.1.7 奈奎斯特判据

奈奎斯特判据从复变函数理论出发，判断闭环系统是否稳定。设开环传递函数为 \(T(s) = A(s)\beta(s)\)，闭环传递函数的极点满足 \(1 + T(s) = 0\)。奈奎斯特判据表述为：若开环传递函数 \(T(s)\) 在右半平面有 \(P\) 个极点，则闭环系统稳定的充要条件是，\(T(j\omega)\) 的奈奎斯特曲线逆时针包围 \((-1, j0)\) 点 \(P\) 次。

对大多数模拟电路，\(T(s)\) 的极点都在左半平面，\(P = 0\)，此时稳定条件简化为奈奎斯特曲线不包围 \((-1, j0)\) 点。工程上更常用的等价表述是：当 \(|T(j\omega)| = 1\) 时，\(\angle T(j\omega)\) 必须大于 -180°；当 \(\angle T(j\omega) = -180°\) 时，\(|T(j\omega)|\) 必须小于1。

奈奎斯特判据的优点是同时适用于开环不稳定和条件稳定系统，且能处理右半平面零点等特殊情况。缺点是需要绘制复平面曲线，手算不便。实际设计中，工程师几乎都用波特图近似判断稳定性。

4.1.8 相位裕度与增益裕度

波特图分析中，两个关键指标决定稳定性。

相位裕度（Phase Margin, PM）：在环路增益 \(|T(j\omega)| = 1\) 的频率（称为单位增益频率 \(\omega_u\)）处，环路相移与 -180° 的差值：

\[ PM = 180° + \angle T(j\omega_u) \]

增益裕度（Gain Margin, GM）：在环路相移达到 -180° 的频率（称为相位穿越频率 \(\omega_{180}\)）处，环路增益低于0 dB的量：

\[ GM = -20\log_{10}|T(j\omega_{180})| \]

相位裕度直接关联闭环响应的阻尼特性。对双极点系统，闭环品质因数与相位裕度的关系近似为

\[ Q \approx \frac{1}{\cos(PM)} \]

PM = 60° 时 \(Q \approx 1.15\)，阶跃响应有轻微过冲；PM = 45° 时 \(Q \approx 1.4\)，过冲约20%；PM低于30°时，闭环响应出现明显振铃，设计规范通常要求PM≥60°。

设计规范通常要求PM ≥ 60°。这保证闭环系统在温度、工艺角变化后仍有足够的稳定裕量。有些高速电路为换取带宽，将PM放宽到45°，但低于45°的设计需要仔细验证瞬态行为。

增益裕度一般要求大于10 dB。增益裕度不足时，系统虽然不会振荡，但在相位穿越频率附近会出现增益峰，导致频域响应不平坦。

4.1.9 波特图分析步骤

用波特图判断稳定性的步骤为：

断开反馈环路，在断开处加测试信号，计算环路增益 \(T(s) = A(s)\beta(s)\)。
绘制 \(|T(j\omega)|\) 和 \(\angle T(j\omega)\) 的波特图。
找到 \(|T(j\omega)| = 1\)（0 dB）的频率 \(\omega_u\)，读出该处的相移，计算PM。
找到 \(\angle T(j\omega) = -180°\) 的频率 \(\omega_{180}\)，读出该处的增益，计算GM。

实际电路仿真中，用STB（Stability）分析直接在原理图上断开环路并计算环路增益，避免了手动断开反馈时加载效应带来的误差。Cadence的Spectre和Synopsys的HSPICE都支持STB分析。

4.1.10 多极点系统的稳定性

考虑一个三极点开环系统，传递函数为

\[ T(s) = \frac{A_0}{(1 + s/\omega_{p1})(1 + s/\omega_{p2})(1 + s/\omega_{p3})} \]

设 \(\omega_{p1} \ll \omega_{p2} \ll \omega_{p3}\)。在 \(\omega_{p1}\) 处，相移开始增加，经过 \(\omega_{p2}\) 后以 -40 dB/dec 斜率下降，经过 \(\omega_{p3}\) 后以 -60 dB/dec 下降。若 \(\omega_u\) 落在 \(\omega_{p2}\) 和 \(\omega_{p3}\) 之间，则 \(\omega_u\) 处的相移约为 -135° 至 -180° 之间，PM在0°到45°之间。若 \(\omega_u\) 超过 \(\omega_{p3}\)，PM为负，系统不稳定。

三极点系统的稳定性取决于极点间距和 \(A_0\) 的大小。\(A_0\) 越高，\(\omega_u\) 越高，越容易进入不稳定区域。这就是高增益运放必须做频率补偿的原因。

图2：转折频率处的幅值和相位变化

图4-2展示了单极点RC低通网络在转折频率 \(f = 159\) Hz处的行为：幅值增益为 -3 dB，相位为 -45°。频率继续增加时，幅值以 -20 dB/dec 下降，相位趋向 -90°。单极点本身不会导致不稳定，但多个这样的极点串联后，总相移叠加，稳定性问题就会出现。

4.1.11 频率补偿技术

4.1.12 主极点补偿

主极点补偿的思路是压低第一个极点的频率，使环路增益在第二个极点到达之前就降到0 dB。具体做法是在高阻抗节点对地接一个大电容 \(C_c\)，将主极点频率从 \(\omega_{p1}\) 降低到

\[ \omega_{p1}' = \frac{1}{R_{o1}C_c} \]

其中 \(R_{o1}\) 是第一级输出阻抗。补偿后，单位增益频率变为

\[ \omega_u = A_0 \omega_{p1}' = \frac{g_{m1}}{C_c} \]

其中 \(g_{m1}\) 是第一级跨导。这个公式很有用：主极点补偿后的单位增益频率只取决于第一级跨导和补偿电容，与输出级参数无关。

主极点补偿的代价是面积。设 \(g_{m1} = 1\) mS，要求 \(\omega_u = 2\pi \times 10\) MHz，则 \(C_c = g_{m1}/\omega_u \approx 16\) pF。在0.18 μm工艺中，16 pF的MIM电容约占0.01 mm²，对面积敏感的设计来说不是小数目。此外，主极点补偿后，从输入到输出的摆率受限于 \(SR = I_{tail}/C_c\)，补偿电容越大，摆率越低。

4.1.13 密勒补偿

密勒补偿利用密勒效应，将补偿电容跨接在放大级输入和输出之间，等效到地的电容被放大了 \(1 + A_2\) 倍，其中 \(A_2\) 是该级的电压增益。两级运放的密勒补偿结构如图4-3所示。

图3：建立放大器电路

设第一级输出阻抗为 \(R_{o1}\)，第二级增益为 \(A_2 = -g_{m2}R_{o2}\)，补偿电容 \(C_c\) 跨接在两级之间。补偿后，主极点频率为

\[ \omega_{p1}' \approx \frac{1}{R_{o1}(1 + g_{m2}R_{o2})C_c} \approx \frac{1}{g_{m2}R_{o1}R_{o2}C_c} \]

第二极点（输出节点）的频率为

\[ \omega_{p2} \approx \frac{g_{m2}}{C_L} \]

其中 \(C_L\) 是负载电容。单位增益频率为

\[ \omega_u = A_0 \omega_{p1}' = \frac{g_{m1}}{C_c} \]

与主极点补偿的表达式相同，但密勒补偿所需的电容值小得多。同样 \(g_{m1} = 1\) mS、\(\omega_u = 2\pi \times 10\) MHz的条件下，\(C_c\) 仍为16 pF，但此时 \(C_c\) 是跨接电容，实际占用的面积约为主极点补偿的1/3到1/2，因为密勒效应将电容的有效值放大了第二级增益倍。

密勒补偿还产生一个右半平面零点：

\[ \omega_z = \frac{g_{m2}}{C_c} \]

这个零点在右半平面，带来额外的相位滞后，使PM恶化。消除或移动该零点的常用方法有两种。

第一种方法是在补偿电容支路串联一个调零电阻 \(R_z\)，将零点移动到

\[ \omega_z = \frac{1}{C_c(1/g_{m2} - R_z)} \]

当 \(R_z = 1/g_{m2}\) 时，零点被推到无穷远；当 \(R_z > 1/g_{m2}\) 时，零点移到左半平面，可以抵消一个非主极点，进一步改善PM。调零电阻通常用工作在线性区的MOS管实现，其电阻值随共模电压变化，需要仔细设计偏置。

第二种方法是用共栅管隔离补偿电容，称为共栅补偿或cascode补偿。补偿电容接在共栅管的源极，共栅管将电容与输出节点隔离，消除了前馈路径，从而消除右半平面零点。代价是增加了一条电流支路和额外的偏置电路。

图4：补偿电容引入的主极点

图4-4给出了密勒补偿后主极点的位置。补偿电容将主极点压低到很低的频率，而第二极点基本不受影响，从而在 \(\omega_u\) 处获得足够的相位裕度。

4.1.14 零点移动技术

除了调零电阻和共栅补偿，还有几种处理右半平面零点的方法。

前馈补偿：在两级之间加一条前馈通路，引入一个左半平面零点来抵消右半平面零点。实现方法是在第一级输出和第二级输出之间接一个前馈电容 \(C_f\)，其值约为 \(C_c\) 的1/3到1/2。前馈补偿的缺点是增加了设计变量，需要仿真优化。

嵌套密勒补偿：用于三级运放。三级运放有两个非主极点，单层密勒补偿只能压低一个，另一个仍可能使PM不足。嵌套密勒补偿用两个补偿电容，一个跨接在第二级和第三级之间，另一个跨接在第一级和第三级之间，形成嵌套结构。这种结构在低压差稳压器（LDO）中很常见。

阻尼因子补偿：在嵌套密勒补偿的基础上增加一个阻尼电阻 \(R_d\)，串联在内部补偿电容支路上，用于控制内部环路的阻尼因子。这种技术可以改善三级运放的瞬态响应，但分析复杂度较高。

4.1.15 补偿电容的摆率限制

补偿电容不仅影响频域特性，还限制大信号行为。两级运放的摆率为

\[ SR = \frac{I_{tail}}{C_c} \]

其中 \(I_{tail}\) 是输入差分对的尾电流。提高摆率需要增大尾电流或减小补偿电容，但减小 \(C_c\) 会提高 \(\omega_u\)，可能使PM恶化。设计中常在摆率和稳定性之间折中。

一种改进方法是使用电流密勒补偿（Current-Mode Miller Compensation），在补偿电容支路串联一个电流镜，将补偿电容的等效值减小为 \(C_c/(1 + K)\)，其中 \(K\) 是电流镜的镜像比。这样可以用较大的物理电容获得较小的等效电容，同时保持足够的相位裕度，但电流镜的失调会引入额外的输入失调电压。

4.1.16 两级运放补偿实例

以一个典型的两级CMOS运放为例。第一级是PMOS输入差分对，尾电流 \(I_{tail} = 20\) μA，\(g_{m1} = 200\) μS；第二级是共源极放大级，\(g_{m2} = 500\) μS，负载电容 \(C_L = 2\) pF。

设计目标：PM ≥ 60°，\(\omega_u = 2\pi \times 10\) MHz。

由 \(\omega_u = g_{m1}/C_c\)，得

\[ C_c = \frac{g_{m1}}{2\pi \times 10^7} = \frac{200 \times 10^{-6}}{6.28 \times 10^7} \approx 3.2 \text{ pF} \]

取 \(C_c = 3\) pF。第二极点频率为

\[ \omega_{p2} = \frac{g_{m2}}{C_L} = \frac{500 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-12}} = 2.5 \times 10^8 \text{ rad/s} \]

即 \(f_{p2} \approx 40\) MHz。\(\omega_u\) 与 \(\omega_{p2}\) 的比值为 \(2\pi \times 10^7 / (2.5 \times 10^8) = 0.25\)，对应PM约为76°（考虑右半平面零点后实际PM略低）。若需要精确的60° PM，可串联调零电阻 \(R_z\)，将零点移到左半平面并使其略高于 \(\omega_u\)。

摆率为

\[ SR = \frac{I_{tail}}{C_c} = \frac{20 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-12}} = 6.7 \text{ V/μs} \]

若要求更高的摆率，可以增大尾电流或采用电流密勒补偿。

图5：相位裕量 > 60°，单位增益带宽 > 50 MHz

图4-5给出了一个满足PM > 60°、单位增益带宽 > 50 MHz的运放设计指标。这类指标在高速ADC驱动、开关电容滤波器等应用中很常见。

4.1.17 共模反馈环路中的稳定性问题

全差分运放需要共模反馈（CMFB）电路来稳定输出共模电平。CMFB环路本身也是一个反馈系统，存在稳定性问题。常见的问题是CMFB环路的带宽远低于差模环路，导致共模瞬态响应缓慢，在开关电容电路中引起建立误差。

图6：共模负反馈电路实现结构

图4-6给出了一种共模负反馈的实现结构。CMFB检测输出共模电压，与参考电压比较后调整尾电流或负载。设计CMFB时，需要单独做STB分析，确保共模环路的PM也满足要求。有些设计中，CMFB环路的稳定性比差模环路更难保证，因为共模检测电路本身会引入额外的极点。

4.1.18 反馈系统的仿真验证

4.1.19 环路增益的仿真方法

仿真环路增益有两种常用方法。第一种是Middlebrook方法，在环路中插入一个测试源，分别计算正向和反向传输函数，然后求环路增益。这种方法对断开位置不敏感，适用于任何反馈拓扑。Spectre的STB分析采用的就是这种方法。

第二种是直接断开法，在反馈网络的输入处断开环路，加交流测试信号，测量返回信号。这种方法简单直观，但断开位置的选择会影响结果，因为断开处两侧的加载效应可能改变环路特性。对于电压-电压反馈，应在低阻抗点断开；对于电流-电流反馈，应在高阻抗点断开。

4.1.20 相位裕度的测量

在仿真中测量相位裕度的步骤为：

用STB分析得到环路增益 \(T(f)\) 的幅频和相频曲线。
在幅频曲线上找到0 dB交叉频率 \(f_u\)。
在相频曲线上读出 \(f_u\) 处的相位 \(\phi(f_u)\)。
计算 \(PM = 180° + \phi(f_u)\)。

需要注意，\(f_u\) 处幅频曲线的斜率对PM有预示作用。若 \(f_u\) 处斜率为 -20 dB/dec，PM通常在45°以上；若斜率为 -40 dB/dec，PM接近0°；若斜率为 -60 dB/dec，系统必然不稳定。这个经验法则在初步设计时很有用。

4.1.21 瞬态验证

频域分析确认PM后，还需要用瞬态仿真验证闭环响应。给运放接成单位增益缓冲器，输入一个阶跃信号，观察输出波形。PM = 60° 时，阶跃响应过冲约8%；PM = 45° 时过冲约20%；PM < 30° 时出现明显振铃。瞬态仿真还能暴露频域分析无法发现的问题，如摆率限制引起的非线性失真、大信号注入时的工作点偏移等。

图7：LTspice中的反相放大器设计

图4-7展示了在LTspice中搭建反相放大器进行闭环验证的电路。用LTspice做环路增益仿真时，可以使用 .loop 命令（需要加载扩展库），或者手动断开环路加测试源。对于教学和初步设计，LTspice的交流扫描配合波特图查看器已经足够。

4.1.22 反馈系统的非理想效应

4.1.23 反馈网络的加载效应

前面推导闭环增益时，默认反馈网络不加载主放大器。实际中反馈网络总是从输出端抽取信号，也在输入端引入负载。精确分析需要考虑加载效应：将反馈网络的输入阻抗计入主放大器的输出负载，将反馈网络的输出阻抗计入主放大器的输入负载。

以电阻反馈网络为例，反馈系数 \(\beta = R_1/(R_1 + R_2)\)。反馈网络在输出端呈现的负载为 \(R_1 + R_2\)，在输入端呈现的负载为 \(R_1 \parallel R_2\)。若 \(R_1 + R_2\) 远大于主放大器输出阻抗，且 \(R_1 \parallel R_2\) 远大于主放大器输入阻抗，则加载效应可以忽略。否则，需要用二端口网络理论重新计算有效开环增益。

4.1.24 反馈对噪声的影响

负反馈不改变输入参考噪声。信号和噪声都经过相同的闭环增益，信噪比不变。但反馈网络本身会引入额外噪声。以电阻反馈为例，反馈电阻的热噪声直接叠加在输入信号上，其等效输入噪声电压为

\[ \overline{v_{n,fb}^2} = 4kTR_1 \parallel R_2 \]

因此，低噪声设计中反馈电阻的取值需要权衡：电阻越大，热噪声越大；电阻越小，反馈网络对前级的负载越重。反馈对噪声的另一个影响是，它可以降低输出端的噪声，但这是以降低信号增益为代价的，信噪比并没有改善。

4.1.25 反馈对失真的改善

负反馈降低失真的前提是环路增益足够大。设开环放大器的三次谐波失真为 \(HD_3\)，闭环后近似为

\[ HD_3' \approx \frac{HD_3}{1 + A\beta} \]

但这是小信号结论。大信号下，摆率限制引起的失真无法通过反馈消除，因为反馈环路在摆率限制期间处于“开环”状态。这就是为什么高保真音频放大器需要足够高的摆率和带宽。

4.1.26 本章小结

负反馈是模拟集成电路设计的核心方法。它用环路增益换取增益精确性、带宽扩展、阻抗变换和失真改善。稳定性是反馈设计的第一约束，相位裕度和增益裕度是衡量稳定性的两个基本指标。多极点系统必须进行频率补偿，主极点补偿和密勒补偿是两种最基本的方法，前者以面积为代价，后者利用密勒效应减小电容值但引入右半平面零点，需要调零电阻或共栅管消除。

设计流程上，建议读者按以下顺序操作：先确定反馈类型和反馈系数，计算环路增益；然后用STB分析得到波特图，检查PM和GM；若PM不足，选择补偿方案并调整补偿元件参数；最后用瞬态仿真验证闭环响应。

下一章讨论运算放大器的设计技术。两级密勒运放、折叠共源共栅运放和套筒式运放是三种基本结构，它们的补偿策略、噪声性能和摆率特性各有不同。第5章将给出两级密勒运放的补偿设计实例，把本章的频率补偿方法直接转化为具体的电路参数。